행렬 및 벡터(Matrices and Vectors) 종합 안내서

 

2023.02.22 - [By AI/수학] - 수학의 기초를 공부할 때 알아야 할 20가지

수학의 기초를 공부할 때 알아야 할 20가지

 

행렬 및 벡터: 종합 안내서

행렬과 벡터는 선형 대수 분야의 필수 구성 요소입니다. 선형 방정식 시스템, 변환 및 데이터 분석을 포함하여 광범위한 수학적 문제를 나타내고 해결하는 데 사용됩니다. 이 가이드에서는 행렬과 벡터의 정의, 연산 및 응용을 포함하여 행렬과 벡터의 기본 사항을 살펴봅니다.

 

정의

행렬

행렬은 행과 열로 배열된 숫자, 기호 또는 표현식의 직사각형 배열입니다. 행렬은 일반적으로 A, B 또는 C와 같이 굵은 대문자로 표시됩니다. 행렬의 크기는 행과 열의 수로 정의되며 mxn으로 표시됩니다. 여기서 m은 행 수이고 n은 열의 수.

예를 들어, 다음은 2개의 행과 3개의 열이 있는 행렬입니다.

A = [1 2 3; 4 5 6]

 

벡터

벡터는 숫자, 기호 또는 표현식의 1차원 배열입니다. 벡터는 일반적으로 a, b 또는 c와 같은 굵은 소문자로 표시됩니다. 벡터의 크기는 요소 수로 정의되며 열 벡터인지 행 벡터인지에 따라 nx 1 또는 1 xn으로 표시됩니다.

예를 들어, 다음은 요소가 3개인 열 벡터입니다.

b = [1; 2; 3]

 

연산

덧셈과 뺄셈

행렬과 벡터는 숫자 값과 동일한 규칙을 사용하여 더하고 뺄 수 있습니다. 행렬의 경우 더하기 및 빼기 연산은 요소별로 수행되며 행렬의 크기는 동일해야 합니다. 예를 들어 다음 행렬을 고려하십시오.

A = [1 2 3; 4 5 6] B = [7 8 9; 10 11 12]

 

A와 B의 합은 다음과 같습니다.

A + B = [8 10 12; 14 16 18]

 

벡터의 경우 덧셈과 뺄셈도 요소별로 수행됩니다. 그러나 벡터는 크기와 방향이 같아야 합니다(즉, 둘 다 열 또는 행 벡터여야 함). 예를 들어 다음 벡터를 고려하십시오.

a = [1; 2; 3] b = [4; 5; 6]

 

a와 b의 합은 다음과 같습니다.

a + b = [5; 7; 9]

 

스칼라 곱셈

행렬과 벡터는 행렬이나 벡터의 각 요소에 스칼라 값을 곱하여 스칼라(즉, 숫자 값)를 곱할 수 있습니다. 예를 들어 다음 행렬을 고려하십시오.

A = [1 2 3; 4 5 6]

 

A에 스칼라 값 2를 곱하면 다음을 얻습니다.

2A = [2 4 6; 8 10 12]

 

마찬가지로, 다음 벡터가 있는 경우:

a = [1; 2; 3]

 

그리고 여기에 스칼라 값 3을 곱하면 다음을 얻습니다.

3a = [3; 6; 9]

 

행렬 곱셈

행렬 곱셈은 선형 대수학의 기본 연산입니다. 두 개의 행렬을 곱하여 세 번째 행렬을 얻습니다. 결과 행렬은 첫 번째 행렬의 각 행과 두 번째 행렬의 각 열의 내적을 취하여 계산됩니다.

행렬 곱셈을 정의하려면 첫 번째 행렬의 열 수가 두 번째 행렬의 행 수와 같아야 합니다. 결과 행렬은 첫 번째 행렬과 같은 수의 행과 두 번째 행렬과 같은 수의 열을 갖습니다. 행렬 곱셈은 기호 "•"로 표시하거나 행렬을 서로 옆에 배치하여 표시합니다. 첫 번째 행렬은 왼쪽에, 두 번째 행렬은 오른쪽에 있습니다.

다음 행렬을 고려하십시오.

A = [1 2 3; 4 5 6] B = [7 8; 9 10; 11 12]

 

A와 B를 곱하기 위해 A의 첫 번째 행과 B의 첫 번째 열의 내적을 취하여 결과 행렬의 (1,1) 요소를 얻습니다. 마찬가지로 A의 첫 번째 행과 B의 두 번째 열의 내적을 취하여 결과 행렬의 (1,2) 요소를 얻습니다. 각 행과 열 조합에 대해 이 프로세스를 반복하여 전체 결과 행렬을 얻습니다.

A • B = [58 64; 139 154]

 

행렬 곱셈은 가환적이지 않습니다. 즉, AB가 반드시 BA와 같지는 않습니다.

 

전치

행렬 또는 벡터의 전치는 행과 열을 전환하여 얻습니다. 행렬 A의 전치는 A^T로 표시되며 A의 행을 A^T의 열로 작성하여 계산됩니다.

예를 들어 행렬 A의 전치:

A = [1 2 3; 4 5 6]

A^T = [1 4; 2 5; 3 6]

 

유사하게, 벡터 a의 전치:

a = [1; 2; 3]

a^T = [1 2 3]

 

결정자

정사각 행렬의 행렬식은 행렬이 반전 가능한지(즉, 역행렬이 있는지)를 결정하는 데 사용할 수 있는 스칼라 값입니다. 행렬식은 det(A)로 표시되며 행렬의 요소를 포함하는 공식을 사용하여 계산됩니다.

예를 들어 다음 2x2 행렬을 고려하십시오.

A = [1 2; 3 4]

 

A의 결정자는 다음과 같습니다.

det(A) = 1*4 - 2*3 = -2

 

행렬의 결정자가 0이면 행렬은 가역이 아닙니다. 결정자가 0이 아닌 경우 행렬에 역행렬이 있습니다.

 

역

행렬 A의 역행렬은 A^-1로 표시되며, A를 곱하면 항등행렬(주대각선에 1이 있고 다른 곳에는 0이 있는 행렬)이 되는 행렬입니다. 행렬의 역행렬은 행렬의 결정자가 0이 아닌 경우에만 존재합니다.

행렬의 역행렬을 계산하기 위해 행렬의 요소와 행렬식을 포함하는 공식을 사용합니다. 공식은 행렬의 크기마다 다르지만 여기서는 다루지 않습니다.

예를 들어 다음 2x2 행렬을 고려하십시오.

A = [1 2; 3 4]

 

A의 결정자는 다음과 같습니다.

det(A) = 1*4 - 2*3 = -2

 

결정자가 0이 아니므로 A는 역수를 가집니다. A의 역수는 다음과 같습니다.

A^-1 = [-2 1; 3/2 -1/2]

 

벡터 연산

행렬과 동일한 규칙을 사용하여 스칼라로 벡터를 더하고, 빼고, 곱할 수 있습니다. 또한 선형 대수학에서 일반적으로 사용되는 두 가지 유형의 벡터 곱셈이 있습니다.

 

내적

두 벡터의 내적(내적 또는 스칼라 곱이라고도 함)은 벡터의 해당 요소 곱의 합을 취하여 계산되는 스칼라 값입니다. 두 벡터 a와 b의 내적은 a • b로 표시되며 다음과 같이 계산됩니다.

a • b = a1*b1 + a2*b2 + ... + an*bn

 

예를 들어 다음 벡터를 고려하십시오.

a = [1; 2; 3] b = [4; 5; 6]

 

a와 b의 내적은 다음과 같습니다.

a • b = 1*4 + 2*5 + 3*6 = 32

 

내적은 다른 응용 프로그램 중에서 두 벡터 사이의 각도를 결정하고 투영을 계산하는 데 사용됩니다.

 

외적

두 벡터의 외적(벡터 곱이라고도 함)은 두 벡터에 수직이고 두 벡터에 의해 정의되는 평행사변형의 면적과 같은 크기를 갖는 벡터입니다. 두 벡터 a와 b의 외적은 axb로 표시되며 다음과 같이 계산됩니다.

a x b = [a2*b3 - a3*b2; a3*b1 - a1*b3; a1*b2 - a2*b1]

 

예를 들어 다음 벡터를 고려하십시오.

a = [1; 2; 3] b = [4; 5; 6]

 

a와 b의 외적은 다음과 같습니다.

a x b = [2*6 - 3*5; 3*4 - 1*6; 1*5 - 2*4] = [-3; 6; -3]

 

외적은 다른 응용 프로그램 중에서 평면에 대한 법선 벡터의 방향을 결정하는 데 사용됩니다.

 

애플리케이션

행렬과 벡터는 수학, 물리학, 공학, 컴퓨터 과학, 데이터 분석 등 다양한 분야에서 광범위하게 응용됩니다. 다음은 이러한 필드에서 행렬과 벡터가 사용되는 방법에 대한 몇 가지 예입니다.

 

선형 방정식 시스템

행렬과 벡터를 사용하여 선형 방정식 시스템을 나타내고 풀 수 있습니다. 선형 연립방정식은 Ax = b 형식으로 작성할 수 있는 일련의 방정식입니다. 여기서 A는 계수의 행렬이고 x는 변수의 열 벡터이고 b는 상수의 열 벡터입니다.

예를 들어 다음 선형 방정식 시스템을 고려하십시오.

2x + y = 5 x - y = 1

 

이 시스템을 Ax = b 형식으로 작성할 수 있습니다.

A = [2 1; 1 -1] x = [x; y] b = [5; 1]

 

그런 다음 A의 역수를 계산하고 b를 곱하여 x를 풀 수 있습니다.

x = A^-1 * b = [3; 2]

 

따라서 선형 연립방정식의 해는 x = 3 및 y = 2입니다.

 

변환

행렬과 벡터를 사용하여 회전, 변환 및 배율 조정을 비롯한 다양한 유형의 변환을 표현하고 수행할 수 있습니다. 이러한 변환은 다른 분야 중에서 컴퓨터 그래픽, 로봇 공학 및 컴퓨터 비전에서 사용됩니다.

예를 들어 다음 2D 회전 행렬을 고려하십시오.

R = [cos(theta) -sin(theta); sin(theta) cos(theta)]

 

이 행렬은 v에 R을 곱하여 각도 세타만큼 2D 벡터 v를 회전하는 데 사용할 수 있습니다.

v_rotated = R * v

 

데이터 분석

행렬과 벡터는 기계 학습, 통계 및 신호 처리를 비롯한 광범위한 응용 프로그램에서 데이터를 표현하고 분석하는 데 사용할 수 있습니다. 예를 들어 행렬을 사용하여 여러 기능이 있는 데이터 세트를 나타낼 수 있고 벡터를 사용하여 개별 데이터 요소를 나타낼 수 있습니다.

데이터 분석에서 행렬 및 벡터의 일반적인 응용 프로그램 중 하나는 대부분의 가변성을 유지하면서 데이터 세트의 차원을 줄이는 데 사용되는 기술인 주성분 분석(PCA)입니다. PCA는 공분산 행렬의 고유 벡터와 고유 값을 계산하는 것과 관련되며 행렬 방정식으로 나타낼 수 있습니다.

Cov(X) * v = lambda * v

 

여기서 Cov(X)는 데이터셋 X의 공분산 행렬이고 v는 행렬의 고유 벡터이고 람다는 해당 고유값입니다. 고유 벡터와 고유 값은 데이터 세트를 저차원 공간에 투영하는 데 사용할 수 있습니다.

 

결론

행렬과 벡터는 광범위한 수학적 문제를 표현하고 해결하는 데 사용되는 선형 대수의 기본 구성 요소입니다. 행렬은 숫자의 직사각형 배열이고 벡터는 숫자의 1차원 배열입니다. 행렬과 벡터는 더하기, 빼기, 곱하기, 반전이 가능하며 다양한 유형의 변환을 수행하고 데이터를 분석하는 데 사용할 수 있습니다. 행렬과 벡터는 수학, 물리학, 공학, 컴퓨터 과학, 데이터 분석 등 다양한 분야에서 사용됩니다. 행렬과 벡터의 기초를 이해하는 것은 이 분야에서 일하는 모든 사람에게 필수적이며 선형 대수학의 고급 주제를 위한 전제 조건입니다.